被别人打的过程中，反而把别人打成重伤，自己轻伤，是谁的责任

如果是轻伤的是要承担刑事责任的

如果构成轻伤或轻伤以上，打人者就涉嫌故意伤害罪，依法应被追究刑事责任。
如果伤情鉴定为轻微伤，只能要求民事赔偿，受害者可直接向法院起诉要求人身损害赔偿；同时可以要求给予行政处罚。

有必要委托律师介入。

要看具体情况， 建议委托律师辩护

1、《中华人民共和国刑法》第二百三十四条　故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。

2、【正当防卫】为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任。
正当防卫明显超过必要限度造成重大损害的，应当负刑事责任，但是应当减轻或者免除处罚。
对正在进行行凶、杀人、抢劫、强奸、绑架以及其他严重危及人身安全的暴力犯罪，采取防卫行为，造成不法侵害人伤亡的，不属于防卫过当，不负刑事责任。

3、涉嫌刑事犯罪，被刑事拘留，家属应该及时委托律师帮助会见、了解客观案件情况，申请取保候审，根据案件情况替他作无罪或罪轻辩护，争取从轻量刑或缓刑。。

都有责任

要看具体过程，请详细描述起因经过，包括每一个动作等。

这有很多细节需要查明，诸如谁先动手，双方打斗的起因，双方是否持有武器等等，不查明原原委委，是不能轻易定责的。