发生争执，被对方要求赔偿

我妈是公交公司的员工，有顾客乘坐公交去火车站坐动车，在公交车上丢失东西，到达火车站后让我妈帮忙找，由于该车次较多，乘客又遗忘车辆的车牌号，所以没有很快找到物品，本想去调监控，可是监控室里刚好没有人，我妈又不会用电脑，乘客就开始怪我妈怠慢工作，要对我妈强行围堵拍照，我妈不愿意被拍照，就走动不想被拍到，对方用手推拉我妈，要强行拍照，我妈不愿意就开始抢夺手机要求对方删除视频，从监控中可以看到，我妈只是抢夺手机的动作，并没有殴打对方，反而被对方殴打。后来对面就先报警说我妈动手打人，要求赔偿。我妈不懂这些，就叫公司领导出来处理，公司领导担心事情闹大影响不好，就同意赔偿。警察处理的时候就一直讲我妈先动手，呵斥我妈不要狡辩，我妈一弱女子，当时很害怕就不知道怎么办，事情也被公司领导解决了，但是对方还说要去医院检查，要是有什么问题还要我妈赔偿。我妈身上有受伤，怎么赔偿的只有我妈，他们那边不应该赔偿吗？而且我妈明明只要动手抢手机，并没有打人。而且对方还对我妈强行围堵拍摄，还动手推拉我妈。现在对方去医院检查后要求我妈再次进行赔偿，想问下我们这边应该怎么处理。对方要求我方赔偿是否必须出示医疗证明？还有我方也被打伤，是否有权要求对方也进行赔偿。