劳动合同 工伤保险

我与2009年3月10日进某公司，2个月试用期。录用时公司要求每人填写员工资料表，以及提交身份证，但我填写时将年龄减少5年，自己提交身份证复印件上的也是少了5年的（其他员工必须上交身份证原件，有公司复印好后还给员工），员工资料表有一栏声明栏，即要求员工对所填内容真实性负责，若有任一关键项发生更改，必须在7天内告知公司，员工资料表上有自己的签名。

公司月3月17日将我上了工伤保险，但用的是我提供的假的身份证号码。

我与4月26日发生工伤，并住院。经查我正确的身份证号码没有上工伤保险。

4月底前公司的其他人员都签订了劳动合同，但我由于住院治疗，没有签，至今也没有。

请问：

1、公司是否可以以我不诚实告知一项来起诉我吗，以此理由可以拒绝与我签订劳动合同吗？

2、我可以告公司不在员工到岗后1个月内签订劳动合同，并要求双倍赔偿吗？

2、若不补签订劳动合同，因后续的工伤医疗费用，及伤残等级评定还都需要劳动合同来佐证，我该怎么做？

3、提交正确的身份证号码，能否让公司到工伤科将原来的号码改掉，以便，我的工伤保险仍自3月17日就有效？

4、工伤后，5月20日出院，至今都在家里，现在公司可以与我解除劳动关系吗？

5、怎样做，可以对自己最有利？

谢谢。