拿到美国绿卡后变更监护权

我和前夫离婚一年，儿子3岁，监护权给了前夫，但一直由我抚养，他也答应我随时可以要回监护权。现前夫已再婚，准备投资移民，为了儿子的将来，前夫答应把儿子的绿卡也一起办下来。原本我想最近就把儿子的监护权要过来，但为了移民，目前只能监护权不变。我想问一下：1.投资移民后，儿子拿到绿卡，本人不去美国，在前夫同意的情况下，我还能否把他的监护权变更到我这里；2.在儿子拿到绿卡后，能否变更户口和改名，这样对他的绿卡会不会有影响。