已经生效并开始执行的劳动仲裁裁决存在错误如何救济

遇到有咨询不服已经生效，并且法院开始执行的劳动争议仲裁裁决该怎么办的咨询。因此本人搜索了下现行的法律规定，认为可以从两个方面入手：
一是向执行法院申请裁定不予执行，然后重新申请仲裁或者向法院起诉。
《 民事诉讼法》第二百三十七条第二款规定：
“被申请人提出证据证明仲裁裁决有下列情形之一的，经人民法院组成合议庭审查核实，裁定不予执行：
(一)当事人在合同中没有订有仲裁条款或者事后没有达成书面仲裁协议的;
(二)裁决的事项不属于仲裁协议的范围或者仲裁机构无权仲裁的;
(三)仲裁庭的组成或者仲裁的程序违反法定程序的;
(四)裁决所根据的证据是伪造的;
(五)对方当事人向仲裁机构隐瞒了足以影响公正裁决的证据的;
(六)仲裁员在仲裁该案时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁决行为的。
人民法院认定执行该裁决违背社会公共利益的，裁定不予执行。
裁定书应当送达双方当事人和仲裁机构。
仲裁裁决被人民法院裁定不予执行的，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以向人民法院起诉。”
《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释》第二十一条也规定：“当事人申请人民法院执行劳动争议仲裁机构作出的发生法律效力的裁决书、调解书，被申请人提出证据证明劳动争议仲裁裁决书、调解书有下列情形之一，并经审查核实的，人民法院可以根据民事诉讼法第二百一十三条(原民诉法，即现民诉法第237条)之规定，裁定不予执行：
(一)裁决的事项不属于劳动争议仲裁范围，或者劳动争议仲裁机构无权仲裁的;
(二)适用法律确有错误的;
(三)仲裁员仲裁该案时，有徇私舞弊、枉法裁决行为的;
(四)人民法院认定执行该劳动争议仲裁裁决违背社会公共利益的。
二是向劳动人事争议仲裁委员会申请通过监督程序予以纠正。
依据有以下几个文件规定：一是《劳动部关于劳动争议当事人对纠正后裁决不服是否有申诉权问题的复函》，内中提到：“劳动争议仲裁委员会可对未向法院起诉，已发生法律效力而且确实有错误的裁决书，通过监督程序予以纠正。”二是《最高人民法院关于劳动争议仲裁委员会的复议仲裁决定书可否作为执行依据问题的批复》，内中提到：“……但这并不排除原仲裁机构发现自己作出的裁决有错误进行重新裁决的情况。劳动争议仲裁委员会发现自己作出的仲裁决定书有错误而进行重新仲裁，符合实事求是的原则，不违背一裁终局制度，不应视为违反法定程序。”三是《江苏省企业劳动争议处理办法》，其第三十五条规定：“当事人对已经发生法律效力的裁决，认为确有错误的，可以在裁决发生法律效力后6个月内向原仲裁委员会申诉。是否受理，由接到申诉的仲裁委员会决定。
仲裁委员会成员对本仲裁委员会已经生效的裁决，发现确有错误需要重新处理的，提交仲裁委员会讨论决定。
上级仲裁委员会对下级仲裁委员会已经发生法律效力的裁决，发现确有错误的，有权指令下级仲裁委员会重新处理。
决定重新处理的争议，应当由仲裁委员会制发仲裁决定书中止原裁决的执行，重新组成仲裁庭审理。”
因为劳动争议仲裁裁决书作出后，法律规定可以在法定期限内向法院起诉，因此，既不向法院起诉，又不服仲裁裁决，导致进入执行程序的案件相对较少，因此实践中仲裁委员会自行纠错就很少见。但既然有规定在，应该还是可以按照规定来执行，纠正错误，确保公正。