爷爷奶奶对父亲态度很差，年头爷爷去世后，父母去探望奶奶都被恶言赶走，但是居委会探访老人时，老人却说父母不去探望而想告父母不履行赡养义务。 细节1：爷爷去世后写下遗嘱，遗产都一分都不给我父母，但奶奶尚未签字，也未曾公开。遗嘱有奶奶的邻居知晓，邻居暗中告知我父母。 细节2：我和父母三人的生活水平经济水平较低，人均工资两千左右，父亲基本无业，三人居40平米小屋离城区较远。奶奶独居市中心七十多平米房子，退休工资单人四千左右，另有爷爷遗产存款等近百万。 细节3：这项暂不具事实依据，属于推测。爷爷奶奶所有财产希望留给女儿(我姑妈)和外孙(姑妈的儿子)，因为姑妈生的是儿子，我父亲只有我一个女儿，因重男轻女所致。 细节4：爷爷年头病重在医院住院，我父亲几乎两个月不工作不回家，日夜陪伴在床边，擦屎擦尿，老人卡痰还亲自用嘴吸痰。姑妈基本不去医院，只在人前装样子，并且没有全力救治老人(←推测)。爷爷去世后姑妈对所有人将我父亲的所为说成是她做的并指责我父亲没有照顾好父亲。但父亲的孝行有医院的医生以及当时病房的病友见证。 请问，如奶奶执意告我父亲不履行赡养义务，我父亲是否需要承担责任并必须赔偿？