请问大家，我请的司机，由于司机操作不当，造成我的汽车整车倾覆以及司机的脊柱压缩性骨折，我现在垫付了所有的医疗费以及手术费，汽车修理费，请问司机出院后，是否可以去做工伤认定？如果没有后遗症的，能否算为工伤？我作为雇主，我觉得很冤枉，是因为司机操作不当，才造成这种后果，所以，还想问一下，我应该承担哪些责任？
----------------------------------------问题补充：--------------------------------------------------
今天手术，要取一根肋骨，并且在脊柱要装钛板，会是工伤吗？另外，司机是由于车速过快，碰上一个坑，导致轮胎爆裂，倾覆至石坎下，保险公司只出示了一个查勘书，上面写的是司机操作不当，我该怎么办？我是有营业执照的，但是没有和该司机签订用工合同，这算雇佣还是什么呢？那他给我造成的损失，我找哪个单位确定，司机付什么样的责任呢？