房产证问题

父母打算离婚。在夫妻期间共购买两所房子。一所在父亲名下、一所在母亲名下。但现在打算离婚。原本已谈妥父亲名下房子归父亲。母亲名下房子归母亲。但就在离婚前，母亲让父亲明天办离婚时带上属于母亲房子的房产证（房产证一直在父亲那放着），但父亲说房产证遗失了。我们都知道这不可能会不见的，是父亲刻意藏起来而已。不过由于怕他拿着房产证会把房子抵押了，母亲就让父亲先一同佢报失房产证在办离婚。由于父亲一直都是出尔反尔的人，所以现在母亲想先离婚在报失房产证。
问题：1，父亲拿着房产证对母亲的房子安全会有什么危害？能否私自抵押？
2.离婚房产分配是否需要房产证？如果没有房产证，签订的离婚协议中的房产分配是否会失效？
3.假如父母先离婚，母亲再去报失房产证，那父亲拿着房产证会不会在报失期间私自抵押，出售房子？