他是否构成诈骗

2010年4月，甲自称其亲戚是政府副市长，承诺为乙办理保外就医，先后分多次从乙方亲属手中索取现金20余万元，报销跑保外费用3万余元。后乙于2012年9月份正常减刑释放，在此期间乙亲属多次索要所支付的现金。乙刑释后联系到甲自称所找的省监狱管理局人员及中间介绍人，两人均称：其来过两次，第一次是找中间人介绍省局能办理保外的人员，第二次是见省局人员并且省局人员当场拒绝了甲的请托事项。现甲以钱给了省局人员要不回来了为由，拒绝偿还现金及费用。甲在为乙办理保外就医时，说自己在市政府工作，并在给乙的发票上自己签上市政府的台头。请问甲是否构成诈骗，我该到哪个公安局报案，是给甲钱的公安局还是省局所在地公安局。