我公司是一家劳务派遣公司，与当地公司当地工厂签订了劳务派遣合同

我公司是一家劳务派遣公司，与当地公司当地工厂签订了劳务派遣合同，在合同中存在工厂不负责提供工伤保险的费用，由劳务公司全权负担(但工厂给我公司提供的管理费根本不包含和不足以支付对于工人的工伤保险)。现在有工人出现工伤造成死亡，因为没有保险，所以工厂要求我公司(因为与死者的劳动关系所属)我公司全责负担对于死者的赔偿。请问我公司是否应该按合同全责负担(或付主要责任)?       而且员工死亡的岗位并非是我公司与合同上的普工。工人死亡前工厂并未明确告知我公司工人岗位的变更(工厂工资条上没有明确的岗位名称，工厂却以工资与普工不同作为已经告知的理由)，我公司与工厂签订的合同上的确有工厂可以调动员工岗位的条款。但工厂是否有因调动员工岗位造成工人死亡的责任。工厂在没有明确告知的情况下以工资数字作为推卸责任的理由是否有效?       劳动仲裁判断责任后我公司已经为死者做出了民事赔偿。在这之后我公司能否对于因工厂的霸王条款行为对于我公司造成的损失提起诉讼?