公证处因证明不足，不予办理遗产继承，能否通过法律途径解决？

祖父：1918年生，1994年逝（派出所、单位证明）；
祖母：1923年生，1995年逝（派出所、单位证明）；
曾祖父：据祖父档案记载，1927年逝（单位证明）；
曾祖母：无记载；
外曾祖父：无记载，据乡下村民回忆，约为1885年生，1945年逝（乡下村委证明）；
外曾祖母：1887年生（派出所证明），据亲人回忆，约为1974年逝（乡下村委证明）；
祖父与祖母育有六名子女，全部在世；
祖父与祖母均无再婚。

祖父名下有一套房产，祖父逝世后，被没有进行遗产继承的财产分割，而该套房产于2000年（祖父逝世后）因单位分房而拆迁，由本人父亲出资认购新房，居住至今，新房户口簿中一直只有父亲一人。

认购新房后，房管局曾发放以祖父为所有权人的房产证，后因祖父已逝而收回该房产证，并于2002年向父亲出具一份要求“到公证处办理产权交换手续”的证明，但因各种原因，父亲一直没有办理。

如今，父亲再去公证处想办理产权交换，公证处表示时间过了太久，只能办理遗产继承，才能出具新房的房产证。但因曾祖辈年代比较久远，相关信息记载比较模糊，甚至没有记载，目前所能得到的信息在公证处无法办理遗产继承公证。

按照继承法对第一继承人的规定，本人有以下推定：
祖父逝世后，其遗产应由①曾祖父母（已逝）、②祖母、③六名子女继承；
祖母逝世后，其遗产（包括对祖父遗产所继承的部分）应由①外曾祖父母（已逝）、②祖父（已逝）、③六名子女继承；

目前，经第一继承人的六名子女协商，同意由父亲单独继承该套新房，即同意新房的房产证上的所有权人为父亲。而对于其他第一继承人（曾祖父母、外曾祖父母），根据仅有的记载与回忆均为已逝。

请问是否可以通过法律途径，让本人父亲合法继承该套新房？
如果可以，需要什么证明与法律程序？
所需的法律费用大概是多少，是否有公式计算？