请问父母离异后，母亲的房子如果加上孩子的名字，孩子父亲是否有继承权之类的？

你好，我今年20岁，父母离异，抚养权判给我妈妈。父母离婚以后，我外公给我妈妈买了一个房子，大概我外公出了三分之二，剩下的由我妈出，户主是我妈妈，全款买房无贷款。但我外公提出要我爸爸出少部分钱，理由是孩子对房子有继承权，没结婚之前孩子也可以住在这，我爸就出了。但是后来外公不肯在房产证上写我的名字，理由是“写了小孩的名字就跟父亲有关系了（大概就是担心我爸爸图谋我妈妈的房子之类的）”当时我还小，也没在意，可是前年我妈妈再婚了，并且又生了孩子，所以我爸提出要在房子上写上我的名字，所以我想问下：
1、母亲的房子加上我的名字，这个房子跟我爸爸会有关系么，有无继承权之类的？
2、母女关系，房产证加我的名字，需要产生税费之类的费用么？需要什么手续及流程？
3、外公现在以他出资最多为理由把房子租出去了，如果产权证上有我的名字我是否就可以合法入住了？
4、加上我的名字后，对我以后购买房子是否有影响，若有影响是否可以把名字去掉即可或其他流程？

谢谢！