可否给以办理工伤鉴定

我单位女职工周某，于2010年3月11日因工作安排，开自家车办公事（我单位没要求她开自家车办公事），发生车祸。后经交通事故认定责任为50%，现她家人要求单位给予办理认定工伤。我单位认为有两点：1我单位没有要求她开自家车出去办事；2她开车发生车祸属于她违章驾驶，刚开始交通队认定她的责任为70%，后来她家找的人才给她认定责任为50%，这个属于她违章。根据这两点，我单位现在能否不给她办理认定工伤。
另：如办理认定工伤后，我单位承担什么样的后果，也就是说是不是得有经济赔偿。（我单位于2010年6月办理工伤保险，补交2010年1-5月的工伤保险，这个工伤保险管不管）