救助的狗咬伤人的责任认定

我前段时间在路边看见一只流浪狗快死了，不忍心就把他救助到一家宠物医院，我出钱请他们治病和照料。前几天一个一直做救助流浪狗的朋友自发去医院遛那只狗。途中有一只没有拴绳子的狗冲过来打架（我救助的狗拴着绳子），朋友呼喊半天主人才出现，让其立刻抱走他家的狗。他拿绳子去系他家狗的时候被我们救助的狗咬伤了手。发生事件后带他去医院，我们先付了疫苗和治伤缝针的费用。但他们家人不依不饶，今天要求加个药明天要求给他们看病打车钱什么的让人很火大。介于这只咬伤人的狗不是我养的，只是自愿出钱救助，而作为当事人的朋友也是自愿帮忙遛狗，而且事情起因又是对方没有拴绳子引起，请问这个事件的责任该怎么认定？谢谢。另说明下，两只狗都没狗证。