子女抚养权

我和我老公今年5月份离婚了，原因是儿子不是他的，现在我儿子4岁半了，离婚协议是，他不付抚养费。房子和儿子归我。我现在想咨询的是,孩子的亲生父亲有抚养的义务吗？他是否应该付抚养费？如果他的亲生父亲要挣抚养权，怎么办？我是否即要了抚养费，又挣到了孩子的抚养权？而且我跟他亲生父亲在一起的时候，我还没有结婚，跟现在的老公正谈着恋爱，然后就怀孕了，怀孕之后就和现在的老公办了结婚手续，结果不是他的，而孩子的亲生父亲那时候已经有妻有儿了。