合同和仲裁

公司应在员工入职起一个月内（试用期内也要与员工签订劳动合同）与员工签订书面劳动合同，若没有签订书面劳动合同，应从第二个月起支付员工双倍工资。但要注意一年的诉讼时效问题，双倍工资的请求诉讼时效是逐月失效的。
用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同，视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位无需再支付用工之日起满一年后未订立书面劳动合同的二倍工资。
员工要保留好员工与公司有劳动关系的证据,比如考勤记录，工资条,工作证，社保纪录等等一切能够证明员工在这家公司工作过的证明材料。
劳动仲裁要提交申请书及相关证据，立案，排期，通知开庭，开庭，裁决。一般仲裁在2-3个月左右完成。
若事情较复杂，最好带上材料咨询律师后，再确定是否请律师帮你。

不能。

不能，不能赢

没必要申请仲裁  后面签订的合同不违法

有效，你们可以发一份函件给公司，要求公司给书面劳动合同。