请问老师，对自己单位能否起诉工伤和没有及时签订劳动合同？对被检查单位能否起诉交通事故？

1.5月份进入公司报到，当天被安排到公司分部上班。8月底时分部要我签公司合同，我签字了，时间签我入职的时间，签的时候合同后页有一份是否已有社保，不需要公司买社保，我签字是选择不需要。
现在，公司说今天分部才把合同交给公司，说如果我确实不想让公司交社保就重新签字，按手印；并且，劳动合同上的签字日期，公司领导甲方签字不可能再签5月份了。

我说我是5月份入职上班，公司领导就应该签5月份的。
我有工资证据.

2.另外 ，我9月份在上班期间发生车祸，公司安排去检查工地发生的，公司没有报工伤，没有出医疗费，费用是让被检查单位出的钱，但现在被检查单位也不愿意出钱了，毕竟我是坐被检查单位的车出事故的。

请问老师，对自己单位能否起诉工伤和没有及时签订劳动合同？对被检查单位能否起诉交通事故？