关于父母对子女的抚养费事宜

一对男女二十多岁时结的结婚，二十七岁时生下了一个女儿，又过了几年后两人离婚，当时女孩只有四五岁。
男方及其家里都因重男轻女坚决不愿抚养女孩，女方家庭也不愿意将孩子交给男方抚养，好像还签过什么协议，老死不相往来。女方因为各方面原因也不愿意、无法抚养女孩，便将女孩交给其母亲，也就是女孩的外婆抚养。
直至女孩上小学，女方都从未给过一分抚育费，反而常常要母亲为自己贴补，女方在女孩上小学之后再婚，再婚的对象经常会给女孩零花钱，几十几十几百几百的。
且，女方在那几年中哪怕是再婚后，回家来看母亲和女儿的次数也屈指可数，同样是经常需要母亲为其贴补。
男方更是自离婚后再也未曾踏足过女方所在地域，从未去看望过女儿，也没有给过一分抚育费。
女孩十三岁发现自身患上严重的心理疾病已经很久了，并因此休学，随时有可能自杀，每天都很抑郁。
女孩外婆经济压力也重，女方母亲本身没有工作都是靠再婚的丈夫生活的。
请问，男方是否应该为其付出一些抚育费呢？如果可以，男方具体可以付出多少抚育费？男方和女方离婚前好像是负债累累。
且，女孩的外婆以及母亲坚决不同意起诉男方要抚养费，还称什么已经决定老死不相往来，没有任何关系了，请问这种情况下女孩能否提起诉讼？