老人住院，三儿子不探望，也不承担医药费，怎么提起诉讼

我爷爷和奶奶有3个儿子和1个女儿，都有经济能力。近20年来，奶奶一直同大儿子一家生活，一切费用都由大儿子负担；爷爷一直同小儿子一家生活，一切费用都由小儿子负担。二女儿和三儿子不履行赡养老人的义务。现在奶奶受伤住院，三儿子既不负责照顾，也不承担医药费。医药费总计约2万余元，期间二女儿支付了1千元，小儿子支付了2千元，大儿子垫付了其余部分。请问要通过民事诉讼的方式，迫使三儿子支付相应的医药费，应该以老人的名义提起诉讼，还是以大儿子的名义提起诉讼？另外，老人一向偏爱三儿子，加之在大儿子家生活无忧，老人自身并不愿意起诉三儿子，在这种情况下，大儿子如何才能通过诉讼，取得三儿子应支付的医药费部分？