我丈夫于2008年去世，之后我持续照料公公的生活起居直至其死亡。公公没有汀立遗嘱，公公的遗产应该怎样

根据我国《继承法》的规定，遗产继承一般分为遗嘱继承与法定继承，若被继承人生前并没有对其遗产的处理立有遗嘱，则其遗留下的遗产应当适用法定继承的相关规定，所谓法定继承，是指在被继承人没有对其遗产的处理立有遗嘱的情况下，由法律直接规定继承人的范围、继承顺序、遗产分配原则的一种继承形式。
  我国《继承法》第10条规定，遗产应按照相应的顺序继承。第一顺序:配偶，子女，父母;第二顺序:兄弟姐妹，祖父母，外祖父母。自继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承。没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承;根据我国《继承法》12条规定:“丧偶儿媳对公、婆，丧偶女婿对岳父、岳母，尽了主要赡养义务的，作为第一顺序继承人。”而所谓“尽了主要赡养义务”，则可根据最高人民法院《关于贯彻执行(继承法)若干问题的意见》第3条规定:“为被继承人生活提供了主要经济来源，或在劳务等方面给予了主
要扶助的，应当认定其尽了主要赡养义务或主要扶养义务。”同时，该意见第29条还规定丧偶儿媳对公婆、丧偶女婿对岳父岳母，无论其是否再婚，依《继承法》第1条规定作为第一顺序继承人时，不影响其子女代位继承权。
    因此，如果你的情况符合了上述法律规定，则有权以第一顺序继承人的身份继承你公公的遗产。