有遗嘱的房产继承及更名手续

家里的一套房产为父母共同财产，房产证为母亲名字。现母亲去世，去世前立有公证的遗嘱：母亲的50%房产份额由独生女儿继承，父亲继续持有他自己的50%部分。
问题：
1.母亲去世了，房产证必须进行更名手续吗？如果不办理是否会对以后卖房子等有影响？
2.如果希望维持现有的分配方式（即父亲和独生女儿各占50%），只是为了以后办事方便把房产证户主改为女儿的名字，应该怎么办理？