离婚后，想争取孩子抚养权应该怎么办？

我是湖北人，我前夫是江西人，前夫家里条件很不好，现在孩子跟着他爷爷在生活。孩子现在生活的环境很不好，他爷爷又喝酒又抽烟，还喜欢赌博，而孩子的爸爸在重庆打工，现在又已经结婚了，也从来不给孩子寄生活费，甚至连电话都不怎么打。而孩子现在住的地方是在一个煤矿区里面，就靠孩子爷爷的一点退休金在生活，可以说用家徒四壁来形容。我每次去看孩子，他都哭着要我带他回武汉，因为先前孩子生活过两年，打电话孩子也会说要我去接他，他不跟爷爷过了。他爷爷听了以后就很生气，连电话都不接我的了，我要带孩子走呢，他就以死要挟，而孩子现在天天跟他爷爷发脾气，也不好好读书和吃饭。现在我就很担心孩子以后的性格会受到影响，所以很想把孩子的抚养权争取过来。可我现在没有东西能够证明这些事情是存在的，那我应该怎么办？如果孩子的抚养权争取过来了，我能不能要求把孩子的户口迁到我的名下？另外，我结婚之后户口没有迁到江西去，一直都挂在我父亲的名下，如果孩子的户口迁过来，能不能也挂在我父亲的名下？