派出所办案流程

我家与邻居由于小事件产生口角是非。争吵中，对方女主人，抓起石头说要砸我妈，我爸见状上前去，想把石头抢下来，结果由于石头比较锋利，将对方手划伤。对方之后报警，并谎称我爸与我妈两人联合砸伤了她的脚，村上很多人都知道，其实她的脚上半年就痛了半年。当时警察带他们到派出所录了笔录，并去做了伤情鉴定。鉴定为手部轻伤，脚上外部无伤痕，里面无骨折。警察当时建议她回家。但她坚持在医院住院治疗。事后，派出所叫我爸妈先回家。
事发到现在，派出所前后两次，有叫我爸妈到派出所，说是调解。
第一次，派出所拿出对方医疗的单据，约三千左右，问我爸妈是否愿意赔钱和解。
第二次，派出所拿出对方医疗的单据，约一万八千左右，问我爸妈是否愿意赔钱和解。并要我爸签字是同意，还是拒绝。我爸不识字，也不会写字，由警察代写“拒绝”，我爸按指印，然后，又叫我爸妈回去了。
我想咨询的问题：
1.派出所处理此类事件，期限是多久。如果我们坚持不赔钱，派出所下一步会作怎样处理。
2.为什么会有派出所前后会拿出两张不同的医疗单据出来调解。
3.我爸抢石头造成对方手受伤，是否属于正当防卫。
4.对方的脚，上半年就痛了半年，派出所处理此事，有无责任去走访调查。
5.如果我们觉得派出所的个别警察处理此事有失公平，我们应怎样维护自己。