被邻居怀疑投毒，并且对方四处播散谣言。

家住农村，我家和邻居都养有鸡。前些天邻居家的鸡突然死亡，据说是被人下毒，而我家的鸡完好。邻居便报案请派出所前来调查，但是没有任何证据和线索。
这在其次，重要的是，对方称某一天家里水缸喂养的两条鱼在早上莫名死亡，怀疑我家投毒。
并且还让其他邻里做伪证，其他邻里出于诚信没有答应，对方不依不饶四处散播谣言。
请问，各位律师，邻居是否已经构成诽谤罪，或者名誉侵害。
书到用时方恨少，面对这种纠纷，我应该如何处理，保护自身利益。殷切求助~~~