交通事故，没有肇事逃逸且赔偿了医药费和其它费用，但是对方还要赔偿高额费用

这是可按照交管部门的规定来处理的

您好，发生交通事故后是否有交警出面处理并出具交通事故认定书？因为这是您承担责任的主要依据，如果交通事故认定书认定您负有责任，一般情况下您是需要赔偿的，而且按照以下规则进行赔偿：
1.如果您有过错，比如违反交通规则开车导致对方受伤的，一般由您负责赔偿，如果对方也有过错（如闯红灯等），一般会减轻您的赔偿责任，如果对方是故意碰撞您的汽车的，您不需要承担赔偿责任。
2.如果您的汽车同时投保了交强险和商业三者险的，先由承保交强险的的保险公司在责任限额范围内予以赔偿；不足部分，由承保商业三者险的保险公司在保险合同范围内赔偿；仍然不足清偿的，再由您赔偿。如果您的汽车只投保了交强险，由承保交强险的保险公司先行赔偿，不足部分再由您赔偿；如果您的汽车没有投保任何保险，对方要求您在交强险范围内赔偿的，您需要在交强险范围内进行赔偿。
3.对方因为交通事故造成的损失，即您需要赔偿的项目可能包括：对方因受伤治疗支出的医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费以及营养费，按照对方实际情况赔偿，且对方主张您赔偿相关项目时，需要有相关的票据凭证；如果对方因此残疾的，您还可能需要赔偿残疾抚慰金以及精神损害赔偿金。
4.建议您与对方好好沟通协商，如果对方起诉您的，您可以申请增加保险公司作为第三人。