民事纠纷被打伤很严重的人需要赔偿，派出所还有权抓人吗？

我母亲在7月份与邻居打了一架，原因是：母亲早晨去干活，邻居去打农药，母亲在后面，邻居在前面，母亲没有跟她打招呼，就走到她前面去了，结果邻居不爽就开始骂我母亲，母亲说，如果你骂我就等于骂你自己，邻居怒了，因为她就是骂我母亲，就跑到我母亲前面拦住我母亲，母亲左边让，右边让，她就是不让走，一下子推到母亲，打我母亲。是邻居先动手的，母亲50多岁，身材瘦小，邻居30多岁，比母亲高大。把母亲打伤的很严重，当天晚上在镇医院加氧气抢救。邻居说是去市医院，没有任何医院证据，但是说每天花了一千多。多。现在他们说我母亲把她打伤了，要求我们赔偿。因为跟派出所有关系，派出所来找我家调解过几次，但是所谓的调解就是叫我家出钱出医药费就和解了。派出所说如果我家不陪就把我母亲抓进去关起来。
劝我家几次都没有赔，（因为我们觉得这个应该是她家的赔才对，如果说她家的被打，需要我们赔，那拿出医院证据，我们该赔多少赔多少，我母亲这边该赔多少也要赔多少才对。）但是派出所并不这样做。
于今天，将我母亲抓去拘留了，关在哪里也没有告诉我们。请问，派出所有这个权利吗

？我们家应不应该赔偿？