公司有权降工资么

公司公告因员工过错给公司造成了损失，现处罚如下：
1、扣一个月工资；
2、继续工作降工资；
3、直接损失全部由员工承担。隐形损失(老板自己预计的以后的收入)由公司承担。
我想问的问题是：
1、公司应该怎样证明是因为员工的过错给公司造成的损失？公司没有相关制度、责任书之类的。
2、能扣一个月工资吗？能降工资吗？
3、公司只承担隐形损失，这合理吗？
4、如果员工要提起仲裁或诉讼，应该在公告出来以后多久之内提出，否则法院不予受理？
请各位律师朋友全面回答，谢谢你们的帮助。