我方被打成轻伤请问对方应承担什么法律责任

这是要承担刑事责任的

控告其故意伤害罪，提起附带民事诉讼索赔

您好,先报警,由公安机关进行调查处理,并由公安机关委托对受害人的伤情作出鉴定,如果鉴定结论为轻伤以上,行为人是需要承担刑事责任的。建议受害人住院治疗,住院治疗终结后,才可以确定具体的赔偿数额,赔偿数额的确定基于几个方面,一、是被害人的年龄及其家庭成员年龄结构；二是受害者伤残等级；三是受害人的经常居住地和主要收入来源地；四、是否继续治疗和康复等等,法律问题确实很复杂,而且伤残等级鉴定标准相当复杂,是以精神的、生理功能的和解剖结构的异常及其导致的生活、工作和社会活动能力不同程度丧失来区分的。也有很多不可预测的因素,律师的分析不可以作为依据,只有起诉后向法院申请鉴定才能够作为有效法律赔偿依据。人身损害赔偿包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费，受害人因伤致残的还需要增加残疾赔偿金、残疾辅助器具费、被扶养人生活费，以及因康复护理、继续治疗实际发生的必要的康复费、护理费、后续治疗费 精神抚慰金等。
刑法第二百三十四条 故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。

先行垫付医疗费用
然后等恢复后，搜集打架的证据起诉至法院要求追究对方的刑事责任及民事赔偿责任

警方不予立案处理可向上级机关反映，可起诉要求赔偿。