公立教师需要签合同吗

您好：
       我是一名不太懂法的教师，现在遇到一些自己无法解决的问题，请您帮我解释一下好吗？
       我97年就被分配到公立学校从事教育工作，但只在04年和学校签订了一份工作期限为三年的合同（那年搞教改），至今一直没有续签。现在自己应聘到另一所公立学校任教，并在应聘之后向原单位递交了一份辞职报告。但原单位以我违约为由罚我3万元违约金，否则不给办理养老保险、住房公积金、个人档案等相关关系。我不明白几个问题：
      1、公立学校的教师需要签劳动合同吗？签订合同到期后没有续签（原单位没再和我签合同）但仍在原单位工作，合同关系成立吗？期间我有权应聘其它单位吗？需要递交辞职报告吗，需要提前多长时间递交，递交后多久生效？
       2、我这种情况违约了吗？校方不签合同违约吗？应聘当时我还算原单位的职工吗？      
       3、在原单位工作期间的绩效工资，原单位有权扣留吗？（因没交违约金，不给我发绩效工资）
       4、学校的工作日为五天半（周六半天）合法吗？
      这些问题让我困惑不已，您能尽快给我回复吗？我该如何处理这些问题？通过法律程序我可以胜诉吗？
        切盼！ 谢谢！