孩子学校被伤，应该由谁赔偿

求问一事：我姐家的孩子就读一所职业学校，今年夏初的一个下午课间时间，在校园内正常行走时突然被一同学从身后用手臂勒住脖子摔倒，造成右腿髌骨骨折，小腿肌腱撕裂，受伤后我家人把孩子送到医院救治，医疗直接费用接近三万元，现在孩子已经出院回家，处于手术后恢复期。此事造成孩子要休学三个月，期间吃饭排便等一直需要人照顾。据医生说孩子手术很成功，恢复好的话对走路不会有影响，但可能一生不能干重活。现在我家人找学校和肇事学生家长商量对孩子的赔偿事宜，但学校说学校不承担责任要我们找肇事学生家长，肇事学生家长只是在我外甥住院期间送了5000元钱就不再赔钱而让我们去找学校，而现在除了孩子因为有意外伤害保险可以赔偿的9000元钱没有其他的赔偿来源。而我外甥又属于完全无过错的被伤害，因为他被摔倒时是正常行走而不是出于和同学打闹，是肇事孩子从背后突然出手造成我外甥受伤——肇事孩子也承认这一点，但自述是出于玩闹的心理，没有料到会发生严重后果。
    现在我想给孩子争取合理的赔偿，最起码要求学校和肇事孩子家庭赔偿我外甥的医药费，但现在学校和肇事孩子家庭相互推诿责任，把我们的赔偿要求当做皮球踢来踢去，没有一方愿意拿钱，听说天涯高人很多，请问大家尤其是熟悉法律的朋友，这种情况应该有哪一方负责，如果是多方责任应该有哪一方负主要责任，各占比例几何？
    如果校方和肇事孩子家庭拒绝赔偿，以对孩子负责的态度我必然会和他们走上法律渠道为孩子争取一个公道，但是为了防止校方歧视报复和孩子良好的同学关系，我打算等二年孩子毕业离校再提起诉讼，但不知那时是否还有效，会不会被视为超期自动放弃索赔的无效诉讼？
     谢谢！