未登记结婚孕子，再嫁后关于抚养权问题

各位律师你们好，我遇到了一些问题，希望能够得到您的帮助：
  我现在的爱人，在遇到我之前因为家人介绍和一个男人相识，并两家家长定下婚约。两个人在一起以后孕有一子（未登记结婚），生完孩子以后男方家人对她很不好，而且那个男人也不去维护她，所以她觉得那一个家庭没有继续生活下去的意义，就离开了。这一走就是三年多（生完孩子以后未上环），直至和我相遇。我比她小两岁，也是中学时期的同学，听完她的故事我很同情她，也很心疼她，更因为她的勤劳，开朗喜欢她。
  如果我们去登记结婚，需要缴纳哪些罚金，或者哪些罚金需要男方一起来承担，或者只需要男方来承担。还有，我们是否有争取小孩抚养权的权利，因为她的爸爸妈妈很喜欢那个孩子。如果争取，我们应该怎么去处理。
  我的问题基本就这些了，还请律师解惑下。谢谢律师了