离异抚养一方在户口本子女姓名一方增加“曾用名”是否合法？

名字更改要经监护人同意，曾用名比较随意。

若如你所说，在没有曾用名的情况下，添加曾用名显然不符合事实，有违身份登记的严肃性真实性，可以向公安机关具体办事部门提出异议。
另根据《公安部关于父母离婚后子女姓名变更有关问题的批复》，根据最高人民法院关于变更子女姓氏问题的复函（ [81] 法民字第 11 号）的有关精神，对于离婚双方未经协商或协商未达成一致意见而其中一方要求变更子女姓名的，公安机关可以拒绝受理；对一方因向公安机关隐瞒离婚事实，而取得子女姓名变更的，若另一方要求恢复其子女原姓名且离婚双方协商不成，公安机关应予以恢复。女儿的改名事项，需要父母形成统一意见才能实施，但是10岁以后改名，孩子有此权利。

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1、不合法；
2、女儿成年了，自己有权改名字的。