纸质的协议在法律上生效吗？

她个人所有，去工商局备案后，如果她之后继续扩张，更改店名什么的，之前的协议会继续生效吗？
如果她在协议上写：把自己名下的财产的百分之四十给我，需要去工商局备案吗？这个协议，没有她丈夫签字，只有她签字，协议会生效吗？

是的。这个以登记为生效原则。当然不登记的话不能对外生效。充其量只能算内部协议。

他的店是个体经营，能否说把店里百分之四十的股份送给我？能谈得上股份吗？

那要变更为合伙，你们到时候需要提交部分材料：例如个人身份信息，诊所的执照，还有你们之间的协议啊等等，具体材料可以咨询当地的工商部门。