应该向劳动监察大队投诉还是仲裁院仲裁索要工资

尊敬的律师：您好！
我与某高校签订了事业单位聘用合同，共5年。现聘用合同于2015-12月到期，我也早按合法程序提前30天递交了辞职报告，并且从2016-2月起再未去学校上班。拟另寻工作单位，不料学校就是不放档案，为此走上劳动争议仲裁的路，我的身份被定义为“全民所有制事业单位在编人员”。4个月后，仲裁裁决终于下来了，还算公正，依法解除了我与某高校之间的人事关系。核心裁决：
“申请人与被申请人之间的聘用合同于2015年12月24日解除，被申请人与申请人之间的人事关系终止”…….
那我想请教如下几个问题：
1.  我在裁决未下来约2016年4月底，就向该高校所在市劳动监察大队要求该高校支付2016-3月～2016-4月工资，因其既不为我办理离职手续，又不出具解除或者终止劳动合同证明，还拖欠工资。得到答复是仲裁院裁决没有下来，不能确定我与学校劳动关系解除。若劳动关系没有解除，该高校确有理由不发我2016-3月～2016年4月工资，他的回答对吗？
2.  现裁决已下，我与该高校的劳动关系确已于2015年12月解除，我现是否有充足的理由索要学校既不办离职手续，又不出具解除或终止合同证明，而且拖欠我的2016-3月～2016年5月工资？
3.  我的身份被定义为“全民所有制事业单位在编人员”，按此身份，我应向该市劳动监察大队投诉，还是向该市人事争议仲裁委员会申请仲裁？ 
十分感谢律师的解答！！