交通肇事中对肇事司机应做什么处理？

我的一个亲戚在交通事故中死亡，事故发生时司机投案，交警支队的事故科在一个月后给出鉴定结果，但期间并未对肇事司机进行拘留，一个半月后案子交给了公安机关，公安机关接过案子时司机已经在逃。请问交管部门和公安机关是否对司机的逃跑负有责任？谢谢。事故发生在邢台，我在北京。