关于老人房产分配问题

一位朋友家里遇到关于老人房产的问题，现请教各位！谢谢！
姐弟三人，姐姐的一处房产当时购买时，首付是父母支付，每月贷款由其本人支付。父已在多年前去世，母健在并一直和姐在一直生活。当时父临终前已请亲戚代写遗嘱将该房产给予姐姐一人，并由亲戚作为证人签字。
现由于家庭矛盾，其中一个弟弟想要争夺姐姐的房产，认为这是父母留下来的，他们应有份。
想请教一下，弟弟的请求是否能够得到法律支持？当时的遗嘱在法律上是否有效？我个人认为现在应该对该遗嘱进行公证，且弟弟无权争夺该房产，因为有遗嘱在先，贷款也由姐姐支付，且自父去世后，弟弟也未尽赡养母亲的义务。