公房承租权的继承问题

外婆今年去世，留有一儿一女，外婆生前有一处公房。我母亲结婚前和我外婆一起居住，我舅舅和舅妈住在同一处隔壁的公房，后来他们自己买房子后把公房退掉了。在外婆生前的最后2年里，公房很少去居住，都是住在医院的老年人康复中心，但租金也按时缴纳至今年年底。住院期间以及最近4，5年，我母亲基本一周去看望一次，而我舅舅则完全没去看望过。住房情况是我母亲和我父亲我住在一起，户主是我父亲；我舅舅舅妈自己有一套住房，我表哥有一套住房，舅舅舅妈两边都住。公房除了我母亲偶尔去收拾一下，放置一些我家的旧家具之类的，最近2年基本是空在那。我外婆的户口在我们家

现在想咨询一下：首先，我母亲能优先获得继承公房的承租权吗？能要求房管所变更租房合同后买下来吗？
其次，我舅舅打算卖掉或租掉自己的房子后，以没有养老居住的地方为由，住在我外婆留下的公房里。特意去房管所缴纳了明年开始的半年房租，但没有变更合同，还是按照我外婆的名字交的，我母亲拒绝他变相的租下来，请问他有权利住下来吗？
最后，那边最近几年可能拆迁，可以购买下房屋的所有权，我母亲和我舅舅都表示愿意支付，这样他们房管所会怎样办理？