关于再婚后一方死亡另一方财产及丧葬费一次性抚恤金继承问题

律师:你好，我母亲（丧偶）于2003年与继父（丧偶）领取结婚证，成为合法夫妻，当时居住的是继父的平方，2004年继父卖了平房购置了楼房，于2006年取得的房本，房本户主是继父的名字，2012年初继父因为突发性心脏病去世，没有留下任何遗嘱。现在继父的子女与我的母亲因为这套房子继承问题起了纠纷。继父的子女认为：房子是卖了婚前的旧房子才买的，应该是婚前财产，我目前无权继承；我母亲认为，2003年结婚、2006年取得的房本，按照新婚姻法规定我母亲至少有一多半继承权，即：我母亲分房子的一半、再和和他的子女分剩下的一半。请问刘律师，我母亲的想法正确么？还有继父去世后按照规定合法了13800元丧葬费、40个月基本工资的一次性抚恤金，请问刘律师，丧葬费和一次性抚恤金是直接给配偶的么？还是也是按照继承顺序走？谢谢您。