立法和司法上保障诉讼当事人司法鉴定申请权的措施有：1、明确当事人的举证责任，告知其依法享有司法鉴定申请权。2、对诉讼当事人的司法鉴定申请，要作出明确的答复，当事人对不同意鉴定的答复持有异议的，可申请复议。3、委托鉴定机构和鉴定人鉴定要与双方诉讼当事人协商。4、要保障诉讼当事人鉴定知悉权的行使。5、可允许一方当事人自行委托鉴定，但同时应保障另一方当事人异议权的行使。