十万火急请教：这些事是属于律师份内的事吗？

我妈妈在建筑公司做事，受伤住院，因赔偿问题打起了官司。

我们请了律师，也打赢了官司，法院判建筑公司赔偿7万多。

双方都没有上诉，但过了法院规定的10天自动履行期后，对方还是不肯赔偿，我们想申请法院强制执行。

可是问题来了，律师说，在当初判决书发下来的时候，他的任务就全部完成了，因此向对方催款，以及向法院申请强制执行都不再是他的责任。

因此我想请教：

1、律师的这种说法是对的吗？
2、申请强制执行，到法院执行，到底得多久？
3、申请强制执行，得交多少费用？这些费用最后又是谁负担？
4、申请强制执行，需要请律师吗？如果需要，律师费又要多少？
5、申请强制执行，到底是怎么个申请法？比如向哪个法院申请，有哪些过程等等。