未签订劳动合同工伤如何界定

2014年6月4日，我公公由一名曹经理打电话邀约去他公司做割草坪的工作，之前也有每个月三四次的频率去做这个工作，但是没有签订任何协议或者合同。

 6.4日我公公在割草坪的时候，由于机器未及时停住，将左手中指及无名指的指甲打掉，并且这俩手指的指尖一块肉削掉了。当时曹经理将我公公送至无锡手外科医院进行救治，并预付了两千元人民币，另外给了两百元的伙食费。此后在6月6日到医院将欠款约一千五百多元交清。

今天医生跟我公公约了11号做植皮手术，预计费用在八千千左右，后续还需要住院半个月调养。但是曹经理告知我婆婆说，如果我们家里答应跟他手术费各付一半，他就出一半手术费，否则他就不负责了。因为之前的钱都是他自己出的，公司不负责。现在不想出了。对术后的调理住院费等，他说以后再说。

所以想请问一下，我公公的这种情况能算工伤吗？医药费治疗费等等，是否应该全由公司承担？公司是否应该支付误工费？

盼复，十分感谢！