为伤正名

律师，您好！ 
我是一名刚毕业的大学生，7月末入职一家英语机构的教学部（该公司设有业务部、财政部），该机构规定试用期为两个月，满期就能签劳动合同，里面包括社保等保险。我本应10月初签合同，不过经理工作繁忙而忘记将准备好的合同给我签。
11月2号是我的休息日，我在狮山小塘。早上9点，教学部主任致电让我将三水教学部的钥匙交给业务部主任，他会从佛山经过小塘到三水招生。之后业务部执行主任致电说由于经理开会推迟一小时出发，司机不绕小塘，让我打摩的到三水。当时我明确提出搭巴士会安全，摩的太危险，我母亲不会同意。但他以赶时间为由坚持要我打摩的。随后摩托车司机直撞到花坛灯柱上，我左上臂骨折、左耻骨轻度骨裂等。当时交警在场很快就处理，判定司机负全责。
我当天转院至佛山中医院时，经理垫付五千住院费，司机也前后凑够一万八千。我的医药费共29812，半年后再手术取钉费用大概一万。
公司的处理方案是既然交警已下达责任判定书认定摩托车司机全责，那么所有前后期费用均由司机支付。公司的法律顾问给的意见是我的伤是很勉强以工伤处理的。原因以下：1、交警已下达责任判定书，判定司机全责；2、业务部无权指使教学部老师；3、事故发生在我休假期间；4、经理不知道三水教学点钥匙在我这里和业务部执行主任致电让我送钥匙，因此从行政上来说，因此与公司无太大牵连。假如司机不支付全额费用，他们也本着人道主义支付部分费用。也就是我的伤不能认定是工伤。但在我休息的这两个月，公司会支付基本工资。
我认为公司这种处理方法是不妥且无理。
1、然我没有签订合同，但我受伤后，经理马上将一个月前准备好的合同拿出来让跟我同期进入公司的老师签名。因为公司明文规定使用满两个月即签订合同。但由于经理疏忽，使我失去该有的合法赔偿。
2、业务部上级虽无权指使教学部的人员，但当时业务部执行主任和教学部主任已事先沟通，第一个电话是教学部主任打给我的，因此就算是休假，我也是按照上级命令为公司办事。
3、我已明确向执行主任表示打摩的危险，建议坐巴士。但他已赶时间为由坚持让我打摩的。
我的困扰：
1、我的伤真的很难算作工伤吗？
2、假如我要诉诸法律，请问是告公司还是告业务部主任？胜算有多少？