关于交通事故的赔偿问题？

各位律师好：
  首先说下事情，我丈母娘开电动车正常行驶，路边突然冲出来个中年妇女，正好和我丈母娘车子擦了一下，单膝下跪。交警认定责任一半一半，于是说好私下解决，我丈母娘当场给几百检查，检查出膝盖骨碎了，说差不多要1-2W，我丈母娘当时就拿了3000先看。没叫对方出具证明。
谁料到那家人，在医院开销很大，住的又是最好的包间，短短几天，还没开刀就已经花了1W多，估计开完刀就是2-3万，还不包括以后的护理营养等，说以后还要开刀，丈母娘觉得已经超出了预算范围很多。
经过几次协商无法解决，我丈母娘又是离异人士。本身也无任何收入，
问：像这种赔偿问题 是否可以等对方对我付之法律 然后等法院判决？是否按照正常的赔偿，还是只能按照医院出具的单子？住几百一天的包间只否也要承担？