试用期两个月及转正一个月都未缴纳五险一金，城镇户口，转正第二个月却只交三险

本人是城镇户籍，属于初次就业，在办理入职手续和面试时，以及多次询问人事保险事宜时都明确填写及表示自己是城镇户籍，所以需要缴纳五险一金。但是2012年12月12日入职一直到转正一个月后公司都未给本人缴纳五险一金，其中试用期两个月，本人已于2月12日转正。结果，4月初拿到3月份的工资明细之后，才显示缴纳了一部分保险而没有公积金，询问之下才得知是这一部分扣除的工资只是非城镇户籍的三险社保金额。
追问人事，为什么明明在多次告知他我是城镇户籍的情况下，还是给缴纳的非城镇户籍的三险？他推说是因为我身份证地址写的信息像是非城镇地址（什么村什么组）。但是，我在之前很多次向他询问什么时候给我交社保时，就很明确的说了，我是城镇户籍。只是，我身份证上的地址还未更改，因为我家户口已在9年前农转非了。我就质疑如果对我的户籍户别还有疑问为什么不再向我核实，而是在未让我知晓的情况下办理了非城镇社保？他刚开始说，是因为社保系统输入我身份证后显示我就是非城镇为由来答复我。后来我就问他社保系统内我的户籍户别信息是怎么确定的，是由系统自动识别还是由申报人在提交材料时按那种户籍类型提交设定的？他不给明确答复，只说让我随后给他补一个户口簿复印件就好，他会去做变更。我后来也有打12333询问，得知像我这种初次就业，还是初到一个新地方就业的，当地社保系统是没有我的个人信息的，一切申报个人资料和录入系统的信息都是由申报单位为我录入申报的，也就是说他之前那个理由说不过去！

请问，像这种情况，我是否可以就以该用人单位未缴纳社会保险为由提出书面离职，并可以立即走人？社保补缴五险一金已经提出补偿呢？