这个事我应该起诉谁？

最近单位给我办理了退休，当我拿到手续时，发现给我晚退了一个月，既退休时间往后差一个月。由于退休前是预退，工资少，正式退休后工资多，晚退一个月就差近两千元。我先找到单位，单位说认定退休年龄就按你进厂填的第一张表上记载的出生时间为准，这是劳动局认定的，你的档案就这样填的。我查看了那张表，发现根本不是我本人填的，连我的姓都少写了一笔。除了这第一张表，其它所有表填的都是正确的出生时间，且与身份证一致。我找了市劳动部门，他们说我们就按第一张表认定，执行的是劳社部发【1999】8号文件，当第一张表与身份证出生时间不一致时，以第一张表为准。我的看法是：明明是单位抄表时抄错了，现在却让我承担这个损失，不公平。另外，市劳动部门的认定也太武断了，不顾身份证上的正确日期，不顾档案的实际情况，就以那唯一第一张错表认定我的出生时间，也太不公正了。我想咨询的是：我应该起诉谁？还是把单位和劳动局都告上法庭？另外，是否可找劳动调解仲裁机构解决？麻烦各位律师了，谢谢！