单位未缴纳医疗保险应如何索赔

2010年10月我到一事业单位上班，属于外聘人员，一直未签订劳动合同，直到2012年1月才签订了劳动合同，合同起止日期为2012年1月1日—2014年12月31日，自2012年1月开始单位为我缴纳养老保险、医疗保险、失业保险及工伤保险。2013年3月，单位为我补签了2011年1月1日—2011年12月31日的劳动合同，并且只补缴了2011年一年的养老保险及失业保险，没有补缴疗保险。2013年5月24日，市长秘书到我单位查岗签到，我因为那天下午请假半天没有签到（我单位请半天假给办公室主任说一声就行，可以不用谢请假条），市政府下文件予以3000元罚款，我没有交罚款，让我离岗并解除劳动合同，解除合同日期为2013年5月27日。由于手头上的工作较多，直到6月14日我才离岗。请问我能否申请2010年10月—12月没有签订劳动合同的这3个月双倍工资经济补偿？能否申请2011年1月—12月未缴纳医疗保险的经济补偿？单位解除我的劳动合同，我没有申请解除合同，这种情况下我应该得到什么经济补偿？劳动合同时5月27日解除的，但我一直工作到6月14日才离岗，这一个月的各种社会保险应作何补偿？