未签定劳动合同，二倍工资的期间？

律师您好 事情是这样的：公司为了卸包袱在我妹妹病重的前一天动员她写下一封辞职申请书，第二天叫了一个摩的把我妹妹送到家，都没有当面交到家人手中，就这样再不闻问，而此时妹妹已经病得很严重，问她什么都说不知道，不能沟通。当天下午我们就找到公司部门了解情况：也确实前段工作时常出错，大年初二还赔了营业款二百多，宿舍的生活也不能自理，会议时眼神呆滞...可是这么多不正常，公司却没有通知家人。
现在妹妹连命也没有了，公司却还以已辞职为由拒绝支付二倍工资、社会保险、丧葬补助金和抚恤金。请问那个辞职申请真的有效吗，她那个时候已神志不清根本不会写什么辞职申请，是公司动员她写的，公司手中的那份辞职申请真的能为他公司抹掉不为劳动者购社保的法律事实吗？而且今天去看了那个续签的合同（2010.8.8-2012.8.7）名字也不是我妹妹的笔记。
我妹妹人生的第一站是这家公司，工作了四年半也是她人生的最后一站，年轻的生命23岁的此走到了尽头。公司不但没有一点关心、责任心，还这样欺负死人不会开口说话，搞些小动作。我们真的不知该怎么办，说实话我们老百姓一个实际家庭条件也不允许我们去走这茫茫诉讼路啊。