公司拖延未签订无固定期限合同，但按时支付工资缴纳社保

现实情况：员工小天09-12,12-15年与公司已签订两次固定期限合同，且12-15年合同于2015年6月30日到期，小天口头、微信方式与人事专员沟通，公司却一直拖延未与小天签订劳动合同（但照常支付工资和缴纳社保）
补充：格式《劳动合同》中有一条约定为：“双方同意，在本劳动合同期满30天前，甲、乙双方均未书面通知对方终止或续订劳动合同的，按本劳动合同期限顺延。”

几个问题请求解答：
鉴于以上情况，公司已与小天构成事实劳动关系
1、 根据《劳动合同法》第八十二条的规定，在符合签订无固定期限劳动合同的条件下，用人单位没有签订无固定期限劳动合同的，需要向劳动者支付双倍工资，起算时间为应当订立无固定期限劳动合同之日。小天是否可以此要求公司支付未签订无固定劳动合同期间（即2015年7月1日至今）双倍工资。
2、 如公司辩称公司虽未与小天签订合同，但原合同约定自动顺延。公司的辩称是否为诡辩呢？因前面的两次固定期限均为3年，本次应签订无固定期限合同，劳动合同自动顺延条款是否是无效条款？
3、 小天打算离开公司以后再提起劳动仲裁或诉讼，离职后再仲裁、诉讼时效等是否受影响。