家长索取赔偿不理想，造谣校方，该怎么办！

课堂上学生不遵守课堂纪律一直用毛笔乱涂乱抹，老师制止后，学生闹脾气躺在地上不起影响其他学生正常上课，老师便说：你再不起来我就在你脸上涂墨水了。学生闹脾气：你涂！你涂我就不起来！后来授课老师确实在孩子脸上涂墨水。
后来教务主管发现后就及时帮孩子清洗掉！
家长过来接孩子当时没有说什么，后来一直和校方说给个说法！
作为校方我们当天下午就越到家长见面谈话，虽然事出有因，但是老师做法毕竟有事妥当。所以校长携授课老师详细将发生经过和家长沟通后，并且赔礼道歉。
犹豫是孩子在课堂上发生的事情，后期并且和家长沟通愿意退还学费一千三百余元（孩子课时最后两节就结束了）作为补偿。
可是家长不同意校方给出的处理意见，再次索要5000元赔偿，并在网站和贴吧上造谣说我们校方虐待、侮辱学生。
请问各位法律专家校方的处理有没有问题，
针对家长的行为校方有没有权利进行起诉？