由邻居家的树印发的倒霉事情

邻居家的树长到我家院子里，遮挡了我家的监控，有两年多之久，我家开加油站的，院子里车多，如果风大，对方的树枝很有可能会抽到骑摩托车人的脸上。我家想让对方将长到我家院子的树枝锯掉，但是一直沟通不畅，邻居不锯树，邻居老两口就是想年年让我们花点钱他们再锯（这是他儿子跟我们说的）。我家没办法只好找了邻居的儿子解决。最后邻居家同意将过到我家院子的树枝锯掉。邻居大爷主动到我家说他岁数大了，让我们自己锯掉，锯完后将树枝给他送去。我家就锯了，树枝也找车送去了。结果过了几个小时，邻居大爷说他家的鹿看到我家工人在那锯树，受惊了，自己撞伤自己，并称我家锯树之前没告诉他，如果告诉他，他就安抚鹿了，现在以这个理由让我们赔款。我家不想赔，因为树是他家让砍的，砍之前没说让我们通知他，也没说鹿的任何事情，我们也不知道他家鹿养在什么地方，也不知道鹿怕惊。而且我们两家的院墙中间还隔着一条一米左右宽的水渠，我家工人只是登梯子将抬手能够得到的树枝锯掉，太高的都没动。鹿能不能看到我家的工人还不一定呢。所以我们不想赔这个冤枉钱，请问该如何处理？